negatieve getallen

We gaan eens op onderzoek uit naar de gehele getallen op de getallenlijn:
Getallenlijn vanaf 1 tot en met 7.

We beginnen, willekeurig, bij de 3. Voor elke "stap" naar rechts, tel je 1 op bij het getal waar je was.
Getallenlijn met 7 getallen, vanaf 1 tot en met 7, met 3 stappen van +1, van 3 naar 4, van 4 naar 5 en van 5 naar 6.

Je kunt op die manier tot in het oneindige naar rechts; het stopt nergens.

1 stap naar rechts = + 1

Hoe werkt dat als je de andere kant op gaat?

Tegengestelde richting = tegengestelde bewerking

en het tegengestelde van + is .

Merk op: alleen de richting verandert, de grootte/afstand van elke stap blijft 1
Getallenlijn met 7 getallen, vanaf 1 tot en met 7, met 3 stappen van −1, van 5 naar 4, van 4 naar 3 en van 3 naar 2.

Dat gaat zonder problemen, totdat je bij de 0 bent aangekomen.
Getallenlijn met 9 getallen, vanaf ? tot en met 7, met 3 stappen van −1, van 2 naar 1, van 1 naar 0 en van 0 naar ?.

Het zou erg onlogisch zijn, als de getallenlijn bij de 0 definitief zou stoppen. Dat is dan ook niet het geval. Hier gaan we kennis maken met de negatieve getallen. Ga je, vanaf de 0, één stap naar links, dan kom je op −1.
Getallenlijn met 9 getallen, vanaf −1 tot en met 7, met 1 stap van −1, van 0 naar −1.

Weer een stap naar links, brengt je op −2
Getallenlijn met 10 getallen, vanaf −2 tot en met 7, met 1 stap van −1, van −1 naar −2.

De volgende wordt −3
Getallenlijn met 11 getallen, vanaf −3 tot en met 7, met 1 stap van −1, van −2 naar −3.

En zo kun je ook naar links tot in het oneindige doorgaan

Optellen en aftrekken met behulp van de getallenlijn

Het sommetje 3 + 2 kun je als volgt op de getallenlijn weergeven:
Getallenlijn met 12 getallen, vanaf −4 tot en met 7, met 1 stap van +2, van 3 naar 5.

Je ziet dat 3 + 2 = 5

Afspraak:
+ betekent naar rechts
betekent naar links

Zo kun je de uitkomst van 8 − 6 vinden met:
Getallenlijn met 13 getallen, vanaf −3 tot en met 9, met 1 stap van −6, van 8 naar 2.

8 − 6 = 2

Nog meer voorbeelden:

  1. −2 + 3 =
    Getallenlijn met 11 getallen, vanaf −5 tot en met 5, met 1 stap van +3, van −2 naar 1.
    −2 + 3 = 1
  2. −5 − 3 =
    Getallenlijn met 13 getallen, vanaf −9 tot en met 3, met 1 stap van −3, van −5 naar −8.
    −5 − 3 = −8
  3. 2 − 6 =
    Getallenlijn met 13 getallen, vanaf −6 tot en met 6, met 1 stap van −6, van 2 naar −4.
    2 − 6 = −4

Download oefeningen 1 (optellen en aftrekken, basis)

1a: oefeningen  –  antwoorden
1b: oefeningen  –  antwoorden
1c: oefeningen  –  antwoorden

Zeker in het begin is het verwarrend dat:

  • het symbool + wordt gebruikt voor de bewerking optellen en om aan te geven dat iets positief is
  • het symbool wordt gebruikt voor de bewerking aftrekken en om aan te geven dat iets negatief is

en een getal zonder symbool ervoor is vanzelf positief.

4 + +3 = 7 is niet moeilijk. Twee positieve getallen bij elkaar optellen heb je al vaak gedaan.

Maar wat doe je met:

3 + −5 (Bij een positief getal, een negatief getal optellen)

Of, nog erger:

2 − 6 (Van een positief getal, een negatief getal aftrekken)

Hierbij gelden dezelfde regels als in de Nederlandse taal.

Suiker?
+ + +
Ik drink mijn koffie  altijd  met  suiker  ja
 
 
+
Ik drink mijn koffie  altijd  zonder  suiker  nee
 
 
+
Ik drink mijn koffie  nooit  met  suiker  nee
 
 
+
Ik drink mijn koffie  nooit  zonder  suiker  ja
 
 

Makkelijk: twee dezelfde symbolen achter elkaar wordt + twee verschillende symbolen achter elkaar wordt

Voorbeelden:

a. 3 + −5 = 3 5 = −2
b. 2 −6 = 2 + 6 = 8
c. −3 +4 = −3 4 = −7
d. −6 −12 = −6 + 12 = 6
e. 5 + −3 = 5 3 = 2
f. 18 −12 = 18 + 12 = 30

Download oefeningen 2 (optellen en aftrekken, vervolg)

2a: oefeningen  –  antwoorden
2b: oefeningen  –  antwoorden
2c: oefeningen  –  antwoorden

Vermenigvuldigen en delen

Je hebt hiervoor gezien hoe je moet omgaan met twee symbolen die vlak achter elkaar staan.

Bij vermenigvuldigen geldt het volgende:

voorbeelden
+... x +... = +...        3 x 5 = 15
+... x −... = −... 3 x −5 = −15
−... x +... = −... −3 x 5 = −15
−... x −... = +... −3 x −5 = 15

Bij delen:

voorbeelden
+... : +... = +...        15 : 5 = 3
+... : −... = −... 15 : −5 = −3
−... : +... = −... −15 : 5 = −3
−... : −... = +... −15 : −5 = 3

Merk op: een getal zonder symbool ervoor is positief.

Je ziet dat ook bij vermenigvuldigen en delen geldt:
2 "dezelfde" => positieve uitkomst
2 "verschillende" => negatieve uitokmst

Een breuk is ook een "deling" dus ook hier:

voorbeelden
+... = +...        20 = 4
+... 5
+... = −... 20 = −4
−... −5
−... = −... −20 = −4
+... 5
−... = +... −20 = 4
−... −5

Download oefeningen 3 (delen en vermenigvuldigen)

3a: oefeningen  –  antwoorden
3b: oefeningen  –  antwoorden
3c: oefeningen  –  antwoorden

Download oefeningen 4 (alles door elkaar)

4a: oefeningen  –  antwoorden
4b: oefeningen  –  antwoorden
4c: oefeningen  –  antwoorden